2012年11月28日星期三 购书前奏曲和序言
今年11月11日，我的室友星星欠我30元钱，我让他送我光棍节礼物，不用还我钱了。他问我要啥，那段时间看乔布斯传看得很high，于是觉得北大学子一定知道很多好书，让他送我本书，推荐下，他说GEB不错。我当时愣了下，这应该是数理逻辑要看的一本书。我想了想让他给我买了浪潮之巅。但是还是去搜索了GEB这本书。当当网上的评价是，“这是一本空前的奇书，也是一本杰出的科学普及名著，它以精心设计的巧妙笔法深入浅出地介绍了数理逻辑、可计算理论、人工智能等学科领域中的许多艰深理论，轻松、幽默、流畅的文字隐藏着大量的潜台词，它们前后照应、互相联系，交织成一个复杂、无形的网络，读者看不见它，但可以嗅出它的气味，并觉察到这是作者有意喷洒的。”
11月22日，从“当当网”够得这本书。
11月28日，开始读这本书。[美]侯世达 著。作者是华裔？怀着这种怀疑开始阅读。从乔布斯传开始，读每本书开始从序言开始。GEB序言38页。
从序言中了解到，此书的中文版成书得益于北大的吴允曾和马希文教授。我发现侯世达，并非华裔，而是道格拉斯·理查·郝夫斯台特 Douglas R. Hofstadter。此人很厉害，不仅在数学和计算机的造诣上，我个人认为在他促成多国语言的GEB的过程中，他绝对是一个语言学家。侯世达是他给自己取的中文名字，他还给本书的中文版作了序。
对于本书的中文版，绝对不是简单的英译中，我个人认为基于作者的语言造诣，加上北大和商务印书馆的支持，本书绝对算一部中文的巨作，做到了严复所谓的三个基本标准：信，达，雅。关于科学的文章我也很赞赏他们的关于科学性论文移译的观点。
比如：“a man, a plan, a canal : Panama”难道要翻译为“一位工程师设计了巴拿马运河”？但是作为计算机的学生，我惊奇的发现，这句英文是回文！所以为何不可对应中文的“叶落天落叶”。
关于GEB：Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid
中文对应：
哥德尔、埃舍尔、巴赫：集异璧之大成
可以看到作者的英文前缀 和 英文对应。中文名和中文拼音对应。
对了，还有一个很艺术的地方：
这两个小方块的三维投影正好是GEB和EGB（本书的后半部分）。
北大的翻译工作组更加用心：中文的集异璧和英文的GEB全部在里面了。
2012年12月06日星期四 导言 一首音乐——逻辑的奉献
最近太忙了，之前把《乔布斯传》和《浪潮之巅》看完了，想集中精力看GEB，结果一方面太忙，另一方面我发现除了计算机有点基础之外，我别的领域特别是音乐确实是个笨蛋。比起前两本书，GEB的不同之处在于你还需要动脑子去理解，这里面充满了逻辑的论证，稍不留神就出现的悖论，信手拈来的计算机中的回文、离散数学中的同构、物理学中的静止与运动。
今天终于把需要看完了。序言或者导言围绕着巴赫的音乐的奉献展开的，取得名字也很有意思叫逻辑的奉献，然后再分别谈了谈巴赫、艾舍尔和哥德尔这三位集大成者。
卡农和赋格：
作为一个音乐白痴，之前只听说过卡农，赋格连听都没听说过。不过大概尝试去理解他们的意思，你会发现巴赫确实是一个天才，从对仗美的角度，虽然我没有听过他的曲子。看他的曲子的结构也能想到，哇，那一定很美。
卡农的基本点是一个单一的主题与它自己相伴而奏。由加入的各个不同声部分别长处主题的“副本”。最简单的方式是轮唱。更复杂的卡农是由简入繁，不仅在时间上而且在因搞上相互交错，第一声部可能在C调上唱出主题，同第一声部相交错第二声部可能在比C调高五度的G调上唱出同一主题。第三部可能在比G调高五度的D调上唱出，这又有点等差数列的味道。看这个结构我就觉得很好听。卡农还有一种更复杂的阶段叫主题转位，意思是产生这样一个旋律，每当原来的主题跳上时，它就跳下，两者所越过的半音阶数相同。接下来是最玄妙的地方了——逆行。主题按照一定的时间从后往前奏出，即螃蟹卡农。无论哪一种副本都保留了原主题的信息，从任何一个副本可以恢复主题，这种保存信息的转换即同构。
正好周四的时候，老师问我什么是图同构，我说可以“印”过去！那什么是子图同构呢？
赋格有点类似于卡农，但没那么严格。
为了过渡到伟大的画家艾舍尔，我还必须提一下无穷升高的卡农。该卡农以C调开头，但是当即将结束时调子已经是D小调了，高了五度，而这个小变化让听者难以察觉。在所谓的“结尾”处，巴赫又把它巧妙地转回了开头，以此循环，无穷无尽。
“觅之，自有所获”。
如果说巴赫演奏出了这个无穷升高的怪圈，那么艾舍尔这画出了他！下图是瀑布，六个分立阶段即展示出了怪圈。
而上升与下降这幅画用了四个阶段就展示了怪圈，虽然比较松散。
2012年12月07日星期四 导言 一首音乐——逻辑的奉献
下面来讲讲最伟大的数学家哥德尔。巴赫和艾舍尔的怪圈中存在着有穷和无穷的冲突，有一种强烈的悖论感，这里面是不是数学出了问题？
有一个悖论叫艾皮曼尼蒂斯悖论：艾皮曼尼蒂斯是一个克里特岛人，他说“所有克里特岛人都说谎”。
这句话可以理解为：“本句话是假的”。
你假设它为真，它却自己得出了自己是假。假设它为假，它却得出了自己是真。
哥德尔在1931年发表了哥德尔定理，简而言之，就是无论涉及什么样的公理系统可证性总比公理性要弱。
一切或许都可以认为是来自“自指”的怪圈。或者是一个环，比如下面这个例子，有这么两句话：
下面这个句子是假的。
上面这个句子是真的。
罗素和怀海特致力于消除这样的怪圈，《数学原理》就是一套比较奇怪的自下而上的看似能消除怪圈的公理系统。
希尔伯特方案：
希尔伯特希望有人能证明《数学原理》既是一致性的又是完全的。即自身无矛盾但是又能证明出里面所有的定理。这里面多少有点循环论证的味道，有点像强迫一个人，拉着自己的鞋带把自己举起来。
但是很遗憾，哥德尔证明了“没有一个公理系统可以产生所有的数论真理，除非它是一个不一致的系统”。
下面来谈谈什么是智能。
- 对于情境有很灵活的反应。
- 充分利用机遇。
- 弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息。
- 认识到一个情境中什么是重要的因素，什么是次要的。
- 在存在差异的清净之间能发现它们的相似处。
- 从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别。
- 用旧的概念综合处新的概念，把它们用新的方法组合起来。
- 提出全新的观念。
2012年12月08日星期五 三部创意曲 WU谜题
下面来谈谈历史上最著名的芝诺悖论，运动无有。
跑得飞快的阿基里斯要追一只乌龟。前提是他让乌龟10米远。每次阿基里斯跑了距离的二分之一时，乌龟会向前移动一段距离。所以阿基里斯一直在缩小距离，但是永远也追不上乌龟。
这个悖论更一般的理解是：一个人从A走到B点，他每次走剩下距离的十分之一，所以他永远也走不到B点。
这个悖论的关键问题是时间。假设距离长为10米，而速度为10米每秒。实际上之所以走不到是因为每次用的时间是0.1，0.01，0.001……秒。合起来只有0.11111111111……秒，根本不到1秒，当然走不到。
后来再去查了查芝诺悖论，除了阿基里斯追乌龟之外，还有一个例子是飞矢不动，此处不详细描述，但是我觉得物理学上有句话叫静止时相对的，运动时绝对的，可以解释这个悖论。
本书的一个特点是每到一个新的章节作者都会借用阿基里斯和乌龟来聊聊天作为抛砖引玉。
第一章讲的内容是WU谜题，由于有离散数学和数理逻辑的基础理解起来不是很复杂。但是里面的确有很多巧妙和让人回味的地方。
一个初始串WJ，要构造或者推导出一个目标串WU。
一些规则：
- 如果一个归你所有的符号串结尾时J，则可以在其后面再加上一个U。
- 如果你有Wx，那么Wxx也是你的。
- 如果JJJ出现在你的储备中的一个符号串里，那么你可以用U代替JJJ而得到一个新的串。
- 如果UU出现在你的串中，你可以去掉它。
要构造WU人和机器是区别的，机器不会累但是也不会思考，所以他会一直按照你的规则找下去，而人不一样，会通过一些洞察力去寻找这个串，或者抱怨找不到。
或者更直观的讲，人有一种能力可以跳出来！跳出系统，去看别的，机器可不行。
判定过程：我们定义判定过程，就是在有限的时间内，指出一个串到底是不是一个定理。一般地讲，我们可以推出一个串是不是一个定理，但是它可能需要花上无穷的时间。
假设有一个怪物，它就是有足够的时间，如果他来解这个WU谜题，他可能会：
- 对于公理WJ应用每一条可以应用的规则，这产生出两个新的定理：WJU，WJJJ。
- 对于1产生的定理应用所有可以应用的规则，产生出新的定理：WJJU，WJUJU和WJJJJ。
- 对于2中的定理同样应用规则，并产生出新的定理。
- ……
乌龟说给阿基里斯的话。
这次的对话看似荒谬，但是却给我一种启迪或者叫震撼！什么叫做证明！推理！推论！我也见识到了假言命题的威力。
下面来看一个论证的小片段：
- 同等于一物的彼此亦相等
- 这个三角形的两条边同等于一物
- 这个三角形的两条边彼此相等
欧几里德的读者都会认为Z是合乎逻辑的推论，所以任何人只要认为A和B为真，则必定Z为真。
但是提出以下两种疑问：
1.有人不认为A，B为真。同意“如果A、B为真，则Z为真”
2.有人同意A，B为真。不认为“如果A、B为真，则Z为真”
1的情况我们可以理解，暂时不考虑。
下面讨论2的情况，请问如何试图让持2观点的人同意ABZ的这个论证呢。
下面尝试这种证法：
不妨把假言命题：“如果A、B为真，则Z为真”定义为命题C
以下证明是否可行呢？
ABCZ
OK! 那么出现质疑假言命题“若ABC为真则Z为真”的人呢？
难道要再次定义假言命题D? 循环往复？这儿是否让人想到巴赫的无穷升调呢！
多么有趣的一个抛砖引玉的例子~
先定义一个简单的系统：pq系统：
三种符号：p q –
公理的定义：只要x仅由一串短杠组成，那么x-qxp-就是一条公理
规则：假设x、y、z都代表只包含短杠的特定的符号产，并假设xqypz是一条已知的公理的话，那么x-qypz-是一条定理。
那么给定一个串如何判定他是否是一条定理？
1.自底向上该方法类似于前面的WU谜题此处不再说明。
2.自顶向下：按照规则不停地寻找它的前驱串，并确认该串是否是一条公理。（当然我们有显然的方法判定一个串是否是一个公理，不然侯世达说：一切都没有希望了。）
经过仔细研究pg系统，可以发现一个经过洞察力可以发现的规律，就是若为定理那么一定是xqypz，且|x|=|y|+|z|
实际上，这是之前笔记中提到的一种东西叫同构：两个复杂的结构可以相互映射，并且每一个结构的每一部分在另一个结构中都有一个相应的部分。我们将一些列单纯的符号，赋予了现实生活的意义：加法。
可以看到这是我们的一厢情愿，当然你可以说q对应马，p对应幸福，-对应苹果。但是得出来的定理都是奇奇怪怪的目前现实生活毫无意义的关于马幸福和苹果的解释。当然我们的系统是实现定义好的，不能因为可以对应为加法，我们就异想天开地觉得——q–p–p–p–是一个定理，因为6=2+2+2。这在现实生活中正确，但是在我们的pq系统是显然说不通的。
当然这种同构也不是唯一的，比如你可以把q对应为减法，p对应为等号这也说得通。以上一些简单但是在我看来比较妙趣横生的例子让我们感到了形式系统与现实的差别。
最后来讲讲给我最震撼的一个小例子：
12乘以12等于多少？144？对！如果我们对它怀疑可以去数一下12乘以12的矩阵格子有多少个。
那么123456789乘以987654321呢？我们不能去数数了吧。谁有能说这个值就是现在这个值呢？怎么证明呢？
下面介绍一个叫欧几里德定理的定理：针对有无穷多个素数这个命题，没有一个计数过程能够证明它的真假。不管我们数出了多少的素数，我们都无法确定素数的个数是有穷的还是无穷的。
欧几里德给出了一个神一样的证明，至少我觉得在当时甚是当时之后的相当长一段时间，大家都这样想。
挑出一个数N，可求得N!，得到一个新的数N!+1，这个数不能被2,3,4,5,6,7,8,9……N的任何数整除。
这种情况下只有两种结果N!+1要么是一个素数，要么它的素因数比N大，任何一种情况下，我们都找到了一个比N更大的素数。
所以当我们想绕过无穷这个概念来证明问题的时候可以使用类似于“所有”这种本身有穷的但是体现了无穷概念的词。
先来看看一幅艾舍尔的镶嵌画：
这幅画无论你关注暗色部分还是亮色部分都可以看到一些看似能构成一个图形的图形，比如一条暗色的鱼或者一把亮色的吉他。我们可以简单的定义一下，暗色的很明显是形状的部分称之为图形，亮色的由几个暗色构成的图形称之为衬底。当然这个定义的反之也是可行的。
Px系统，即x为素数个-构成的串那么Px为定理，否则Px不是定理。
现在我们需要解决一个问题——判断一个数是否是素数。其实我们可以看到一个简单但不是显而易见的问题，就是如果一个非1的自然数，如果它不是合数，那么它一定是素数。那么是不是有那么一个定理能够判断一个数是不是合数了，就可以解决一个数是不是素数的问题了？这个问题和图形和衬底有异曲同工之妙。作者构造了一个类似于tq系统的乘法形式系统，它的所有定理与合数一一对应，换句话说，这个系统中的所有非定理我可以认为它就是素数。但是，作者明确地指出了这是一种素数的非法刻画因为它没有明确指出如何构造素数，而只是说tq系统的非定理是素数，我们判定一个串是否是非定理并不是那么显然的。
那么是不是所有图形都有衬底，或者其衬底都是有意义的？文中给出了一个概念，就是如果一个图形是倍流畅的，那么它的衬底就是有意义的。也就是说存在可识别的形状，其负空间不是可识别的。
在音乐中的图形与衬底既可以理解为旋律与伴奏。
在该章后面部分，作者意味深长地说出了以下这段话：
是否有什么手段，能把素数作为正空间表示出来。
那时我相当肯定地认为不仅素数，而且任何能被负地表示出来的数的集合都同样能正地表示出来。我这个信念背后的直觉可以用一个问题来表达：“一个图形与衬底怎么会不带有完全相同的信息？”在我看来，它们体现了同样的信息，只是以互补的两种方式对信息编码而已。
结果就素数而言我是对的，但对一般情形来说我错了。这使我很吃惊。
即：存在一个形式系统，其负空间（非定理集）不是任何一个形式系统的正空间（定理集）
2013年1月7日星期一 对位藏头诗 一致性 完全性与几何学
老实说，明天有考试，但是最近确实比较忙也没怎么看GEB这本书，不过考虑到19号之前要交作业，哎，看本章的意愿并不是想看本章而看的，纯粹是但是看不完才看的说来也悲哀，这个学期大部分心力都耗在了实验室的项目上了，没怎么静下心里好好做一些自己想做的事。
这次乌龟和阿基里斯带来的是一个很有趣的例子：螃蟹号称买了一个很厉害的唱片机，所谓很厉害就是这个唱片机是完备的，什么叫完备呢？就是没有这个唱片机播放不了的唱票，或者说这个唱片机能播放所有的唱片。
聪明的乌龟想了一个办法，致信给制造商要来了图纸，经过研究之后，发现唱片的内部规律，于是刻了一张唱片能够和唱片机共振，命名为唱片机1播放不了的唱片，最后的结果是在唱片机1播放的过程中，唱片机和唱片都被震碎了。
螃蟹很伤心，但是螃蟹相信一定有完备的唱片机，于是又去买了个更厉害的唱片机2，他说这个唱片机是低保真的，有些唱片天然就不能播放。但是这岂不是自己宣告唱片机2不是完备的了么？
螃蟹后来了解到乌龟的手段。于是他花大价钱，让制造商设计一种很厉害的唱片机，这个唱片机自带一个摄像机，先检测即将播放的唱片，如果会引起共振，那么它将改变自己的内部结构。如此聪明！但是哥德尔不完全定理已经说了，不可能存在完备的唱片机的。
以上的这个故事具有显明的意义，又具有隐含的意义。这就是同构的精妙之处。
先谈谈唱片和唱片机。唱片机的纹道有两层意义，第一层意义是音乐或者说声音的意义。
第二次意义则是唱片中引起的震颤序列。
第二层意义依赖于相继的两个同构：
1任何纹道模式与空气震颤的同构；
2任何空气的震颤与唱片机震颤的同构。
人们往往注意同构1，即音乐或者声音的震颤，而忽视了同构2空气的震颤又会影响唱片机。
对位藏头诗与哥德尔定理的映射关系：
唱机 —— 数论的公理系统
低保真唱机 —— “弱”的公理系统
高保真唱机 —— “强”的公理系统
“完备的”唱机 —— 数论的完全系统
唱机的“图纸” ——形式系统的公理与规则
唱片 —— 形式系统的符号串
可播放的唱片 —— 公理系统的定理
不可播放的唱片 —— 公理系统的非定理
声音 —— 数论的真陈述
可重现的声音 —— 系统中经过解释了的定理
不可重现的声音 —— 非定理的真陈述
曲名 —— 哥德尔串的隐含意义
“我不能在唱机X上播放” —— “我不能在形式系统X中到处”
正如乌龟说不存在那种完备的点唱机一样，哥德尔的定理认为，
不完全性：对于任何一个形式系统，真理超出该系统所规定的定理资格这件事。
2013年1月13日星期日 和声小迷宫 递归结果和递归过程
本章讲的是递归。今天正好复习组合数学，看到递归那章，担心数理逻辑的读书报告写不完了，于是赶紧读了一章，结果发现，正好也是讲递归的。
组合数学中有一个关于兔子的递归的例子，我想拿出来说一说：
某年某月（从第0月）开始，把雌雄各一的一对小兔放入养殖场中，假设两个月长成成兔，并同时（即第二个月）开始每月产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。试问第n个月末养殖场中共有多少对兔子？
答案是斐波那契数列，推理过程较为简单，大致就是Fn = Fn-1 + Fn-2。我只想惊叹于这个例子的答案恰好是斐波那契数列而已。
言归正传，这次乌龟和阿基里斯被带到了一个飞艇上，然后有一个叫“郝晕”的坏人绑架，扬言要吃乌龟肉。
乌龟有两种药水，一种是喝了可以进入画里面。另一种是喝了之后可以出来。由于自身是学计算机的，所以对递归的概念理解起来不是那么复杂。
但读到这儿的时候我和侯世达想到了一个相同的问题，那就是在现实生活中和那个可以跳出画的药水会怎么样，侯世达巧妙地回避了这个问题，并说这是没有意义的，我想难道用初始化来限制么？哈哈。或许，作者只是想给我带来一个巧妙的例子而已。
于是阿基和乌龟就穿梭于画与画之间，甚至进入画中画。这些逻辑理解起来我可能不那么费力，我对音乐本身不大懂，所以对巴赫的音乐里面的妙处自然不能体味也只能从逻辑上理解到从D调到C调然后快结尾的时候再回到D调这种奥妙。
不过让我十分惊叹的是艾舍尔，特别是画手和壁虎的两幅画，简直是把递归惟妙惟肖的实体化了。
乌龟和阿基的这个故事里，我发现了一件事，那就是他们并没有回到“郝晕”的那一层，其实他们还是一直在艾舍尔的画里，这点至少让我十分别扭，当他们开始读哪一本乌龟和阿基作为主人公的书的时候，我就感受到了故事里面将有很多处递归，我只是不大明白为啥作者不让他们回到真实世界，难道怕“郝晕”把乌龟吃掉么？
作者给递归的定义是：嵌套各种各样的嵌套。
在给出了一些计算机中比较常见的数据结构比如栈，他将入栈弹出操作称为：推入和弹出。当然保存当前环境是必要的，对应到计算机的保存地址，变量等问题。
上面这张图就是一个关于阿基和乌龟故事的一个逻辑图。十分形象，特别是当你以计算机的思维来审视这张图的时候。
如果说，递归就是自己调用自己的话。那么递归的概念容易形成悖论？或者说容易与自指的概念形成混淆？但是或许如果把这个概念分层的话或许就容易理解了，不是一直调用自己，而是一层一层的下降进入，当然总有返回的时刻。
关于语言中的递归，翻译的译者么给了一句让读者十分头疼的话：
语言中推入和弹出的极好的例子就是那种反映在那些关于以为心不在焉地使人心中的堆栈完全乱套的方式信口开河地使用使听众莫名其妙的相互叠套的动词或借此的教授的滑稽故事中的现象。
本章的最后，关于程序设计的内容中，提到了一个让我注意的问题，貌似老师上课也提到过。那就是关于while和for的使用，我指的for是那种有界循环，非自由循环。对一个程序员显而易见的是自由循环是有害的，它可能使程序一直休眠，或者叫进入那种所谓的惰界。
2013年1月14日星期一 音程增值的卡农 意义位于何处
这次阿基和乌龟的对话中提到了日本的绯句？固定的字数，固定的格式。五个音节，七个音节，五个音节组成，有点像计算机中的编码。特别是当阿基把“秋 岭 阳 青”读成了“禾 灿 邻 晴”就能更加强烈地感受到编码的奇妙了。
传说中的螃蟹这次有搞怪了，弄出了一种巨大的唱片机：
多个头，一张垂直的唱片，可以放很多曲子！
怎么做到的呢？
由于我对音乐确实不大了解，但是我大概能感受到，就是读入相同的调子或者说凹槽：1 2 1 然后每个头可以会解析成1 2 1；2 4 2；3 6 3；等等的曲子。
接下来，让我们看看意义位于何处。
在以前的读书报告中就提到，赵国兴老师问过我一个问题，什么叫同构。我说两个图可以摁上去的就是同构。
谈“意义”的时候，我们先来看看DNA，大家都知道我们长成什么样，是什么样的除了小部分后天因素之外，大部分原因来自于DNA。记得老师讲对策论的时候说，实际上大部分“东西”都刻在我们的DNA里面了，所以你的DNA决定了你就是那样的！
我们可以将DNA定义成一个词：遗传型；我们最后表现出来的东西定义成一个词：表现型。
其实同构也不是简单的摁过去就能完事的，有异常同构和平凡同构。异常同构就摁不过去，至少是很难摁过去，就是很难找到遗传和表现之间的对应关系。
本章的后面部分感觉花了大篇幅再介绍如何解释消息，或者说我们发出去的消息，如何让“外星人”来理解等问题。
作者将消息定义为三种层次：
（1）框架消息，（2）外在消息，（3）内在消息。我们最熟悉的应该是内在消息。类似于基因的遗传型等特征。
有一个简单的例子就是，在海边捡到一个里面装有纸条的瓶子。瓶子是一个框架消息，正常人都会捡起瓶子，打开它。纸条上的字符就是外在消息，比如是中文写的汉字，这些汉字仅仅是字符，但是如果用中文解读它，那个时候就很有意义了就是这个瓶子的主人真正想要表达的消息就是内在消息。
这大概就是我对本章的一个简单的理解吧。
2013年1月16日星期三 半音阶幻想曲，及互格 命题演算
本章中介绍的内容算是基本解决了在二部创意曲的一些关于“证明”的疑问。
这次乌龟给阿基带来了不小的麻烦。乌龟说我的龟壳是绿的。然后乌龟说我的龟壳不是绿的。然后阿基说你说了一句矛盾的话，因为你说你的龟壳是绿的又不是绿的。乌龟说：不是，没有。我从来没说过我的龟壳是绿的并且不是绿的这样的话。我只承认我说过我的龟壳是绿的。我的龟壳不是绿的。作为一个正常人，我想会相当受不了乌龟的说法，但是仔细想想，视乎有些说不上来的东西，乌龟好像又是对的。
在两个场合中，乌龟都不肯以规范正常的方式去用规范正常的词，至少对它不利的时候，它就不愿意去使用它。本章介绍的就是命题推理的问题。
系统（我想我可以使用这个词，或者规则）中有一些定义：
原子：最基本的东西，生活中的词语事物：P，Q，R。
良构的串：原子’，原子’’等等，以及使用以下四条递归的跪着生成的串：
（1）~x
（2）<x^y>
（3）<xνy>
（4）<x->y>
下面有一个幻想规则。上面我们给出的系统中只有规则，没有公理。所以我们可以使用这个叫幻想规则，对一个良构的串我们假设他是公理，然后以它为前提来推导，严格按照推理规则可以得到一个串y，我们的x是幻想的前提，y是幻想的结果。
幻想有进入，有弹出。幻想这个概念有点像盗梦空间，幻想可以嵌套，一层一层的，类似于递归，更厉害的是可以把上层幻想的定理或者结论搬入到下一层的幻想中，现实是最高层的。当然，下一层的幻想中的串不能搬入上一层幻想。
有一个分离规则（Modus Ponens）：
如果x和<x->y>两者都是定理，那么y是一个定理。
很重要的是，幻想规则有一个大家熟悉的名字：演绎定理。
提出判定过程这一问题，有什么机械的方法来区别定理和非定理？如果有，说明命题演算的定理的集合不仅是递归可枚举的，而且也是递归的。结果是，的确存在一个有趣的判定过程——真值表方法。
关于我们系统是否是一致性的问题，作者很巧妙地用了“严谨”和“马虎”两个人的对话来说明。我比较同意严谨的观点：只是我们设法证明了它，我们才会知道所有的定理在预期的解释之下结果为真。这才是慎密的、考虑的周到的行为方式。
最后来谈谈“证明”和“推导”，证明是某种非形式的东西。一个推导是证明的人造对应物，它的用意和目标与证明类似，但是通过的使用逻辑结构，这个逻辑结构的那些方法不仅是全然明确的，而且是非常简单的。
2013年1月17日星期四 螃蟹卡农 印符数论
螃蟹卡农这个小对话整体来说充满了回文的概念，我觉得作者前面加的用于表示开始字符和结束时反过来的字符正好强烈地展现出来这种概念，但是我觉得它更像是一个提示，作为本书的一个较为忠实的读者，其实我蛮不希望布满trick的本书给它的读者一个提示，希望它的读者能够较好的理解trick，我觉得恰恰起到了相反的作用。
本篇对话以巴赫《音乐的奉献》中的同名曲子为基础。从形式技巧和层次游戏的角度讲，该对话比前面的对话都要紧凑且层次分明。三个伟人哥德尔，艾舍尔，巴赫被嵌为一体了。
阿基里斯和乌龟都描述他们熟知的艺术作品，而这些作品与对话有具有同样的同构。自指，同构，回文这些都是在本书中反复出现的概念。
本章花了近30多页来详细地介绍了一个叫印符数论的系统，TNT(Typographical Number Theory)。如果我没理解错的话，或许这是我们学的一阶逻辑？
所以关于这个系统的一些基础的概念，我此处不在提及。
所以，我相信大家都知道五条皮亚诺公设。不过我不得不佩服作者，他在讲递归的时候讲了一个小例子，提及了愿望，元愿望，神怪，元神怪，造物神等概念。
于是他在神怪的那个系统里面建立了五条皮亚诺公设：
1. 怪物是一个神怪
2. 每个神怪有一个元（它也是一个神怪）
3. 怪物不是任何神怪的元
4. 不同的神怪有不同的元
5. 如果怪物有X，并且每个神怪都把X递送给它的元，那么所有的神怪都得到X.
下面谈谈我对这5条公设的理解：
1.0是系统的一个数
2.每个数都有一个后继
3.0不是任何一个数的后继
4.不同的数有不同的后继
关于第五条我需要特别说一下，它是数学归纳法原理或者说是继承性论证的另一说法。
最后又回答了那个关于马虎和严谨的问题：我们该不该象信赖命题演算的一致性那样信赖TNT的一致性，如果我们不那么相信，我们是不是有可能通过证明它是一致的。（任何时候不会有x和~x形式同时都是定理）
希尔伯特方案的目标是使用一个非常受限制的推理原则的集合来证明类似于TNT的形式化数论的一致性。前面也提到，哥德尔证明了这种方案失败的必然性。
最后用一句简单的话作结：任何一个强得足以证明TNT的一致性的系统起码与TNT本身一样强。
真的很佩服本书的作者，不仅对数学，绘画和音乐有很深刻的理解，甚至连佛学禅宗也很通晓，虽然我不清楚原版本是否具出的这些例子，我倒是真心佩服作者的博学多才。还记得对乔布斯的时候就发现年轻的乔布斯对禅宗表现出了极大的狂热。
有一个词叫公案。我之前不大理解，后来查了查，维基百科上说是：指禅宗祖师的一段言行，或是一个小故事，通常是与禅宗祖师开悟过程，或是教学片断相关。(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E6%A1%88)
我觉得作者在这儿借用禅宗佛学和公案是想说明定理与非定理，真与假等问题。一首无的奉献同《音乐的奉献》基本没啥关系，不过我相信大多数接触自指，怪圈等怪圈的读者对下面的一个例子也会引发一些思考。
分子生物学的怪圈，蛋白质是经过DNA编码的，但是这些经过DNA编码的蛋白质很可能转过来去破坏那些产生他们的DNA，生命确实很奇特啊。
在阿基和乌龟的对话中，处理禅宗公案有一套较为清晰的步骤，我们称之为判定过程。
- 公案折叠为一个三维的串，这有点想计算机中的编码。
- 确定这个串具有佛性，即判定真假。
更加清晰和具体的是：“转录”和“翻译”。转录一个公案成拼音，然后翻译成信使。整个过程在我看来和高中生物中DNA的复制何等相似。
逻辑上值得推敲的地方是，有两个公案，他们是互为反公案的即：“即心是佛”和“即心非佛”。按照我们的判定过程，完全无法说明他两到底谁是正确的。因为他们唯一的区别是前面有一个波浪号，~。但是~~却又能消除~。非非即是，是和非反过来还是是和非，这是我的理解。
禅宗是什么？佛门禅宗的基本教条之一是：没有任何办法能刻画禅宗是什么。
禅宗是反对二元论的。就是把事物严格地划分开。我是否可以理解为。S是A和B的并集合，A和B交集为空，S即是那个事物。我忽然发现我也会形式化了。我感觉这和老师提的排中律应该是一回事。二元论，排中律。就是说，一个东西要么真，要么假，不会一会真一回假。
后面的内容引入了哥德尔配数这一哥德尔的基本思想。我也没怎么读明白，那么如同作者一样，我也用无门禅师的话来作结（好像是针对不可判定性的）：
狗子佛性，全提正令。
才涉有无，丧身失命。
好了，本书的读书报告就到这里，我尽自己的可能阅读了这本书，其中有很多时间不允许的地方导致我并没有更多地去思考。我非常感谢赵老师能介绍这本书给我，让我对生活，生命，各个领域都有了不同的认识，对音乐和艺术有了一定的了解。我尽力写了这份读书报告，第一次写，感觉自己的体会谈得还是比较少，较多的是感慨作者的巧妙和对自己读懂内容的记录和总结。如果老师能读完我会非常感激的。谢谢。